3.226 \(\int \text{csch}^{16}(c+d x) (a+b \sinh ^4(c+d x))^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=182 \[ -\frac{a \left (35 a^2+30 a b+3 b^2\right ) \coth ^7(c+d x)}{7 d}-\frac{3 a^2 (7 a+b) \coth ^{11}(c+d x)}{11 d}+\frac{5 a^2 (7 a+3 b) \coth ^9(c+d x)}{9 d}-\frac{a^3 \coth ^{15}(c+d x)}{15 d}+\frac{7 a^3 \coth ^{13}(c+d x)}{13 d}+\frac{3 a (a+b) (7 a+3 b) \coth ^5(c+d x)}{5 d}-\frac{(a+b)^2 (7 a+b) \coth ^3(c+d x)}{3 d}+\frac{(a+b)^3 \coth (c+d x)}{d} \]

[Out]

((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^2*(7*a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*(a + b)*(7*a + 3*b)*Coth[c +
d*x]^5)/(5*d) - (a*(35*a^2 + 30*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a^2*(7*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^9)/(9*d
) - (3*a^2*(7*a + b)*Coth[c + d*x]^11)/(11*d) + (7*a^3*Coth[c + d*x]^13)/(13*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^15)/(15*d
)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.158821, antiderivative size = 182, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.087, Rules used = {3217, 1261} \[ -\frac{a \left (35 a^2+30 a b+3 b^2\right ) \coth ^7(c+d x)}{7 d}-\frac{3 a^2 (7 a+b) \coth ^{11}(c+d x)}{11 d}+\frac{5 a^2 (7 a+3 b) \coth ^9(c+d x)}{9 d}-\frac{a^3 \coth ^{15}(c+d x)}{15 d}+\frac{7 a^3 \coth ^{13}(c+d x)}{13 d}+\frac{3 a (a+b) (7 a+3 b) \coth ^5(c+d x)}{5 d}-\frac{(a+b)^2 (7 a+b) \coth ^3(c+d x)}{3 d}+\frac{(a+b)^3 \coth (c+d x)}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[c + d*x]^16*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3,x]

[Out]

((a + b)^3*Coth[c + d*x])/d - ((a + b)^2*(7*a + b)*Coth[c + d*x]^3)/(3*d) + (3*a*(a + b)*(7*a + 3*b)*Coth[c +
d*x]^5)/(5*d) - (a*(35*a^2 + 30*a*b + 3*b^2)*Coth[c + d*x]^7)/(7*d) + (5*a^2*(7*a + 3*b)*Coth[c + d*x]^9)/(9*d
) - (3*a^2*(7*a + b)*Coth[c + d*x]^11)/(11*d) + (7*a^3*Coth[c + d*x]^13)/(13*d) - (a^3*Coth[c + d*x]^15)/(15*d
)

Rule 3217

Int[sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^4)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = FreeF
actors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff^(m + 1)/f, Subst[Int[(x^m*(a + 2*a*ff^2*x^2 + (a + b)*ff^4*x^4)^p)/(1 + ff^2
*x^2)^(m/2 + 2*p + 1), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[p]

Rule 1261

Int[((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> In
t[ExpandIntegrand[(f*x)^m*(d + e*x^2)^q*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, q}, x] &&
NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, -2]

Rubi steps

\begin{align*} \int \text{csch}^{16}(c+d x) \left (a+b \sinh ^4(c+d x)\right )^3 \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right ) \left (a-2 a x^2+(a+b) x^4\right )^3}{x^{16}} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{a^3}{x^{16}}-\frac{7 a^3}{x^{14}}+\frac{3 a^2 (7 a+b)}{x^{12}}-\frac{5 a^2 (7 a+3 b)}{x^{10}}+\frac{a \left (35 a^2+30 a b+3 b^2\right )}{x^8}+\frac{3 a (-7 a-3 b) (a+b)}{x^6}+\frac{(a+b)^2 (7 a+b)}{x^4}-\frac{(a+b)^3}{x^2}\right ) \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{(a+b)^3 \coth (c+d x)}{d}-\frac{(a+b)^2 (7 a+b) \coth ^3(c+d x)}{3 d}+\frac{3 a (a+b) (7 a+3 b) \coth ^5(c+d x)}{5 d}-\frac{a \left (35 a^2+30 a b+3 b^2\right ) \coth ^7(c+d x)}{7 d}+\frac{5 a^2 (7 a+3 b) \coth ^9(c+d x)}{9 d}-\frac{3 a^2 (7 a+b) \coth ^{11}(c+d x)}{11 d}+\frac{7 a^3 \coth ^{13}(c+d x)}{13 d}-\frac{a^3 \coth ^{15}(c+d x)}{15 d}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 4.50951, size = 404, normalized size = 2.22 \[ -\frac{\text{csch}^{15}(c+d x) \left (45045 \left (1152 a^2 b+1024 a^3+840 a b^2+231 b^3\right ) \cosh (c+d x)-5005 \left (20352 a^2 b+7168 a^3+16632 a b^2+4785 b^3\right ) \cosh (3 (c+d x))[phone] a^2 b \cosh (5 (c+d x))-34070400 a^2 b \cosh (7 (c+d x))[phone] a^2 b \cosh (9 (c+d x))-2620800 a^2 b \cosh (11 (c+d x))+374400 a^2 b \cosh (13 (c+d x))-24960 a^2 b \cosh (15 (c+d x))[phone] a^3 \cosh (5 (c+d x))-9784320 a^3 \cosh (7 (c+d x))+3261440 a^3 \cosh (9 (c+d x))-752640 a^3 \cosh (11 (c+d x))+107520 a^3 \cosh (13 (c+d x))-7168 a^3 \cosh (15 (c+d x))[phone] a b^2 \cosh (5 (c+d x))-39999960 a b^2 \cosh (7 (c+d x))[phone] a b^2 \cosh (9 (c+d x))-3243240 a b^2 \cosh (11 (c+d x))+463320 a b^2 \cosh (13 (c+d x))-30888 a b^2 \cosh (15 (c+d x))[phone] b^3 \cosh (5 (c+d x))-14189175 b^3 \cosh (7 (c+d x))+5720715 b^3 \cosh (9 (c+d x))-1486485 b^3 \cosh (11 (c+d x))+225225 b^3 \cosh (13 (c+d x))-15015 b^3 \cosh (15 (c+d x))\right )}{369008640 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[c + d*x]^16*(a + b*Sinh[c + d*x]^4)^3,x]

[Out]

-((45045*(1024*a^3 + 1152*a^2*b + 840*a*b^2 + 231*b^3)*Cosh[c + d*x] - 5005*(7168*a^3 + 20352*a^2*b + 16632*a*
b^2 + 4785*b^3)*Cosh[3*(c + d*x)] + 21525504*a^3*Cosh[5*(c + d*x)] + 74954880*a^2*b*Cosh[5*(c + d*x)] + 741620
88*a*b^2*Cosh[5*(c + d*x)] + 23288265*b^3*Cosh[5*(c + d*x)] - 9784320*a^3*Cosh[7*(c + d*x)] - 34070400*a^2*b*C
osh[7*(c + d*x)] - 39999960*a*b^2*Cosh[7*(c + d*x)] - 14189175*b^3*Cosh[7*(c + d*x)] + 3261440*a^3*Cosh[9*(c +
d*x)] + 11356800*a^2*b*Cosh[9*(c + d*x)] + 14054040*a*b^2*Cosh[9*(c + d*x)] + 5720715*b^3*Cosh[9*(c + d*x)] -
752640*a^3*Cosh[11*(c + d*x)] - 2620800*a^2*b*Cosh[11*(c + d*x)] - 3243240*a*b^2*Cosh[11*(c + d*x)] - 1486485
*b^3*Cosh[11*(c + d*x)] + 107520*a^3*Cosh[13*(c + d*x)] + 374400*a^2*b*Cosh[13*(c + d*x)] + 463320*a*b^2*Cosh[
13*(c + d*x)] + 225225*b^3*Cosh[13*(c + d*x)] - 7168*a^3*Cosh[15*(c + d*x)] - 24960*a^2*b*Cosh[15*(c + d*x)] -
30888*a*b^2*Cosh[15*(c + d*x)] - 15015*b^3*Cosh[15*(c + d*x)])*Csch[c + d*x]^15)/(369008640*d)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.085, size = 218, normalized size = 1.2 \begin{align*}{\frac{1}{d} \left ({a}^{3} \left ({\frac{2048}{6435}}-{\frac{ \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{14}}{15}}+{\frac{14\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{12}}{195}}-{\frac{56\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{10}}{715}}+{\frac{112\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{8}}{1287}}-{\frac{128\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{6}}{1287}}+{\frac{256\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{4}}{2145}}-{\frac{1024\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{2}}{6435}} \right ){\rm coth} \left (dx+c\right )+3\,{a}^{2}b \left ({\frac{256}{693}}-1/11\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{10}+{\frac{10\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{8}}{99}}-{\frac{80\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{6}}{693}}+{\frac{32\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{4}}{231}}-{\frac{128\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{2}}{693}} \right ){\rm coth} \left (dx+c\right )+3\,a{b}^{2} \left ({\frac{16}{35}}-1/7\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{6}+{\frac{6\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{4}}{35}}-{\frac{8\, \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{2}}{35}} \right ){\rm coth} \left (dx+c\right )+{b}^{3} \left ({\frac{2}{3}}-{\frac{ \left ({\rm csch} \left (dx+c\right ) \right ) ^{2}}{3}} \right ){\rm coth} \left (dx+c\right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(d*x+c)^16*(a+b*sinh(d*x+c)^4)^3,x)

[Out]

1/d*(a^3*(2048/6435-1/15*csch(d*x+c)^14+14/195*csch(d*x+c)^12-56/715*csch(d*x+c)^10+112/1287*csch(d*x+c)^8-128
/1287*csch(d*x+c)^6+256/2145*csch(d*x+c)^4-1024/6435*csch(d*x+c)^2)*coth(d*x+c)+3*a^2*b*(256/693-1/11*csch(d*x
+c)^10+10/99*csch(d*x+c)^8-80/693*csch(d*x+c)^6+32/231*csch(d*x+c)^4-128/693*csch(d*x+c)^2)*coth(d*x+c)+3*a*b^
2*(16/35-1/7*csch(d*x+c)^6+6/35*csch(d*x+c)^4-8/35*csch(d*x+c)^2)*coth(d*x+c)+b^3*(2/3-1/3*csch(d*x+c)^2)*coth
(d*x+c))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.38143, size = 3687, normalized size = 20.26 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^16*(a+b*sinh(d*x+c)^4)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

4096/6435*a^3*(15*e^(-2*d*x - 2*c)/(d*(15*e^(-2*d*x - 2*c) - 105*e^(-4*d*x - 4*c) + 455*e^(-6*d*x - 6*c) - 136
5*e^(-8*d*x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c) + 6435*e^(-14*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16
*d*x - 16*c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) - 3003*e^(-20*d*x - 20*c) + 1365*e^(-22*d*x - 22*c) - 455*e^(-24*d*x -
24*c) + 105*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-28*d*x - 28*c) + e^(-30*d*x - 30*c) - 1)) - 105*e^(-4*d*x - 4*c)/(d*(1
5*e^(-2*d*x - 2*c) - 105*e^(-4*d*x - 4*c) + 455*e^(-6*d*x - 6*c) - 1365*e^(-8*d*x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 1
0*c) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c) + 6435*e^(-14*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16*d*x - 16*c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) -
3003*e^(-20*d*x - 20*c) + 1365*e^(-22*d*x - 22*c) - 455*e^(-24*d*x - 24*c) + 105*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-
28*d*x - 28*c) + e^(-30*d*x - 30*c) - 1)) + 455*e^(-6*d*x - 6*c)/(d*(15*e^(-2*d*x - 2*c) - 105*e^(-4*d*x - 4*c
) + 455*e^(-6*d*x - 6*c) - 1365*e^(-8*d*x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c) + 6435*e^
(-14*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16*d*x - 16*c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) - 3003*e^(-20*d*x - 20*c) + 1365*e^(-22*d
*x - 22*c) - 455*e^(-24*d*x - 24*c) + 105*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-28*d*x - 28*c) + e^(-30*d*x - 30*c) - 1)
) - 1365*e^(-8*d*x - 8*c)/(d*(15*e^(-2*d*x - 2*c) - 105*e^(-4*d*x - 4*c) + 455*e^(-6*d*x - 6*c) - 1365*e^(-8*d
*x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c) + 6435*e^(-14*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16*d*x - 16
*c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) - 3003*e^(-20*d*x - 20*c) + 1365*e^(-22*d*x - 22*c) - 455*e^(-24*d*x - 24*c) + 1
05*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-28*d*x - 28*c) + e^(-30*d*x - 30*c) - 1)) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c)/(d*(15*e^(-
2*d*x - 2*c) - 105*e^(-4*d*x - 4*c) + 455*e^(-6*d*x - 6*c) - 1365*e^(-8*d*x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c) -
5005*e^(-12*d*x - 12*c) + 6435*e^(-14*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16*d*x - 16*c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) - 3003*
e^(-20*d*x - 20*c) + 1365*e^(-22*d*x - 22*c) - 455*e^(-24*d*x - 24*c) + 105*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-28*d*x
- 28*c) + e^(-30*d*x - 30*c) - 1)) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c)/(d*(15*e^(-2*d*x - 2*c) - 105*e^(-4*d*x - 4*c) +
455*e^(-6*d*x - 6*c) - 1365*e^(-8*d*x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c) + 6435*e^(-1
4*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16*d*x - 16*c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) - 3003*e^(-20*d*x - 20*c) + 1365*e^(-22*d*x
- 22*c) - 455*e^(-24*d*x - 24*c) + 105*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-28*d*x - 28*c) + e^(-30*d*x - 30*c) - 1)) +
6435*e^(-14*d*x - 14*c)/(d*(15*e^(-2*d*x - 2*c) - 105*e^(-4*d*x - 4*c) + 455*e^(-6*d*x - 6*c) - 1365*e^(-8*d*
x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c) + 6435*e^(-14*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16*d*x - 16*
c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) - 3003*e^(-20*d*x - 20*c) + 1365*e^(-22*d*x - 22*c) - 455*e^(-24*d*x - 24*c) + 10
5*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-28*d*x - 28*c) + e^(-30*d*x - 30*c) - 1)) - 1/(d*(15*e^(-2*d*x - 2*c) - 105*e^(-
4*d*x - 4*c) + 455*e^(-6*d*x - 6*c) - 1365*e^(-8*d*x - 8*c) + 3003*e^(-10*d*x - 10*c) - 5005*e^(-12*d*x - 12*c
) + 6435*e^(-14*d*x - 14*c) - 6435*e^(-16*d*x - 16*c) + 5005*e^(-18*d*x - 18*c) - 3003*e^(-20*d*x - 20*c) + 13
65*e^(-22*d*x - 22*c) - 455*e^(-24*d*x - 24*c) + 105*e^(-26*d*x - 26*c) - 15*e^(-28*d*x - 28*c) + e^(-30*d*x -
30*c) - 1))) + 512/231*a^2*b*(11*e^(-2*d*x - 2*c)/(d*(11*e^(-2*d*x - 2*c) - 55*e^(-4*d*x - 4*c) + 165*e^(-6*d
*x - 6*c) - 330*e^(-8*d*x - 8*c) + 462*e^(-10*d*x - 10*c) - 462*e^(-12*d*x - 12*c) + 330*e^(-14*d*x - 14*c) -
165*e^(-16*d*x - 16*c) + 55*e^(-18*d*x - 18*c) - 11*e^(-20*d*x - 20*c) + e^(-22*d*x - 22*c) - 1)) - 55*e^(-4*d
*x - 4*c)/(d*(11*e^(-2*d*x - 2*c) - 55*e^(-4*d*x - 4*c) + 165*e^(-6*d*x - 6*c) - 330*e^(-8*d*x - 8*c) + 462*e^
(-10*d*x - 10*c) - 462*e^(-12*d*x - 12*c) + 330*e^(-14*d*x - 14*c) - 165*e^(-16*d*x - 16*c) + 55*e^(-18*d*x -
18*c) - 11*e^(-20*d*x - 20*c) + e^(-22*d*x - 22*c) - 1)) + 165*e^(-6*d*x - 6*c)/(d*(11*e^(-2*d*x - 2*c) - 55*e
^(-4*d*x - 4*c) + 165*e^(-6*d*x - 6*c) - 330*e^(-8*d*x - 8*c) + 462*e^(-10*d*x - 10*c) - 462*e^(-12*d*x - 12*c
) + 330*e^(-14*d*x - 14*c) - 165*e^(-16*d*x - 16*c) + 55*e^(-18*d*x - 18*c) - 11*e^(-20*d*x - 20*c) + e^(-22*d
*x - 22*c) - 1)) - 330*e^(-8*d*x - 8*c)/(d*(11*e^(-2*d*x - 2*c) - 55*e^(-4*d*x - 4*c) + 165*e^(-6*d*x - 6*c) -
330*e^(-8*d*x - 8*c) + 462*e^(-10*d*x - 10*c) - 462*e^(-12*d*x - 12*c) + 330*e^(-14*d*x - 14*c) - 165*e^(-16*
d*x - 16*c) + 55*e^(-18*d*x - 18*c) - 11*e^(-20*d*x - 20*c) + e^(-22*d*x - 22*c) - 1)) + 462*e^(-10*d*x - 10*c
)/(d*(11*e^(-2*d*x - 2*c) - 55*e^(-4*d*x - 4*c) + 165*e^(-6*d*x - 6*c) - 330*e^(-8*d*x - 8*c) + 462*e^(-10*d*x
- 10*c) - 462*e^(-12*d*x - 12*c) + 330*e^(-14*d*x - 14*c) - 165*e^(-16*d*x - 16*c) + 55*e^(-18*d*x - 18*c) -
11*e^(-20*d*x - 20*c) + e^(-22*d*x - 22*c) - 1)) - 1/(d*(11*e^(-2*d*x - 2*c) - 55*e^(-4*d*x - 4*c) + 165*e^(-6
*d*x - 6*c) - 330*e^(-8*d*x - 8*c) + 462*e^(-10*d*x - 10*c) - 462*e^(-12*d*x - 12*c) + 330*e^(-14*d*x - 14*c)
- 165*e^(-16*d*x - 16*c) + 55*e^(-18*d*x - 18*c) - 11*e^(-20*d*x - 20*c) + e^(-22*d*x - 22*c) - 1))) + 96/35*a
*b^2*(7*e^(-2*d*x - 2*c)/(d*(7*e^(-2*d*x - 2*c) - 21*e^(-4*d*x - 4*c) + 35*e^(-6*d*x - 6*c) - 35*e^(-8*d*x - 8
*c) + 21*e^(-10*d*x - 10*c) - 7*e^(-12*d*x - 12*c) + e^(-14*d*x - 14*c) - 1)) - 21*e^(-4*d*x - 4*c)/(d*(7*e^(-
2*d*x - 2*c) - 21*e^(-4*d*x - 4*c) + 35*e^(-6*d*x - 6*c) - 35*e^(-8*d*x - 8*c) + 21*e^(-10*d*x - 10*c) - 7*e^(
-12*d*x - 12*c) + e^(-14*d*x - 14*c) - 1)) + 35*e^(-6*d*x - 6*c)/(d*(7*e^(-2*d*x - 2*c) - 21*e^(-4*d*x - 4*c)
+ 35*e^(-6*d*x - 6*c) - 35*e^(-8*d*x - 8*c) + 21*e^(-10*d*x - 10*c) - 7*e^(-12*d*x - 12*c) + e^(-14*d*x - 14*c
) - 1)) - 1/(d*(7*e^(-2*d*x - 2*c) - 21*e^(-4*d*x - 4*c) + 35*e^(-6*d*x - 6*c) - 35*e^(-8*d*x - 8*c) + 21*e^(-
10*d*x - 10*c) - 7*e^(-12*d*x - 12*c) + e^(-14*d*x - 14*c) - 1))) + 4/3*b^3*(3*e^(-2*d*x - 2*c)/(d*(3*e^(-2*d*
x - 2*c) - 3*e^(-4*d*x - 4*c) + e^(-6*d*x - 6*c) - 1)) - 1/(d*(3*e^(-2*d*x - 2*c) - 3*e^(-4*d*x - 4*c) + e^(-6
*d*x - 6*c) - 1)))

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.88967, size = 8951, normalized size = 49.18 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^16*(a+b*sinh(d*x+c)^4)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

8/45045*((3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 13*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15
444*a*b^2 - 15015*b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^12 - 2*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 15015*b^3)*sin
h(d*x + c)^13 - 15*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 11011*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 6*(8960*a^3 + 31200*a
^2*b + 38610*a*b^2 + 65065*b^3 - 26*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x
+ c)^11 + 11*(26*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 15*(3584*a^3 + 12480*a^
2*b + 15444*a*b^2 - 11011*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^10 + 210*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 5148*a*b^2 - 386
1*b^3)*cosh(d*x + c)^9 - 10*(143*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 37632*a^3
+ 131040*a^2*b + 216216*a*b^2 + 234234*b^3 - 165*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 13013*b^3)*cosh(d*x + c
)^2)*sinh(d*x + c)^9 + 9*(143*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 275*(3584*a
^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 11011*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 210*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 5148*a*b^2 - 3861*b
^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^8 - 182*(8960*a^3 + 31200*a^2*b + 13068*a*b^2 - 12705*b^3)*cosh(d*x + c)^7 -
4*(858*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 2475*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a
*b^2 + 13013*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 407680*a^3 - 1419600*a^2*b - 2918916*a*b^2 - 2147145*b^3 + 3780*(896*a^3 +
3120*a^2*b + 5148*a*b^2 + 5577*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^7 + 2*(858*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444
*a*b^2 - 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^7 - 3465*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 11011*b^3)*cosh(d*x + c)^5
+ 8820*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 5148*a*b^2 - 3861*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 637*(8960*a^3 + 31200*a^2*b + 13068*a
*b^2 - 12705*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^6 + 1365*(3584*a^3 + 8256*a^2*b + 1980*a*b^2 - 3025*b^3)*cosh(d
*x + c)^5 - 6*(429*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^8 - 2310*(1792*a^3 + 6240*a^
2*b + 7722*a*b^2 + 13013*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 8820*(896*a^3 + 3120*a^2*b + 5148*a*b^2 + 5577*b^3)*cosh(d*x +
c)^4 + 815360*a^3 + 3800160*a^2*b + 6396390*a*b^2 + 3578575*b^3 - 1274*(4480*a^3 + 15600*a^2*b + 32076*a*b^2
+ 23595*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^5 + 5*(143*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 15015*b^3)*cosh
(d*x + c)^9 - 990*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 11011*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 5292*(1792*a^3 + 6240*a
^2*b + 5148*a*b^2 - 3861*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 1274*(8960*a^3 + 31200*a^2*b + 13068*a*b^2 - 12705*b^3)*cosh(d
*x + c)^3 + 1365*(3584*a^3 + 8256*a^2*b + 1980*a*b^2 - 3025*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 429*(25088*a
^3 + 24000*a^2*b + 3492*a*b^2 - 10395*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 2*(286*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 1501
5*b^3)*cosh(d*x + c)^10 - 2475*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 13013*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 17640*(896*a
^3 + 3120*a^2*b + 5148*a*b^2 + 5577*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 6370*(4480*a^3 + 15600*a^2*b + 32076*a*b^2 + 23595*
b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 5381376*a^3 - 32329440*a^2*b - 40980654*a*b^2 - 19324305*b^3 + 13650*(1792*a^3 + 8352*a
^2*b + 14058*a*b^2 + 7865*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^3 + 3*(26*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2
- 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^11 - 275*(3584*a^3 + 12480*a^2*b + 15444*a*b^2 - 11011*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 2520*
(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 5148*a*b^2 - 3861*b^3)*cosh(d*x + c)^7 - 1274*(8960*a^3 + 31200*a^2*b + 13068*a*b^2 -
12705*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 4550*(3584*a^3 + 8256*a^2*b + 1980*a*b^2 - 3025*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 429*(2508
8*a^3 + 24000*a^2*b + 3492*a*b^2 - 10395*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 - 2860*(1792*a^3 - 1248*a^2*b - 1
08*a*b^2 + 693*b^3)*cosh(d*x + c) - 2*(13*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 15015*b^3)*cosh(d*x + c)^12 -
165*(1792*a^3 + 6240*a^2*b + 7722*a*b^2 + 13013*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 1890*(896*a^3 + 3120*a^2*b + 5148*a*b^
2 + 5577*b^3)*cosh(d*x + c)^8 - 1274*(4480*a^3 + 15600*a^2*b + 32076*a*b^2 + 23595*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 6825
*(1792*a^3 + 8352*a^2*b + 14058*a*b^2 + 7865*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 20500480*a^3 + 54912000*a^2*b + 59304960*a
*b^2 + 25765740*b^3 - 1287*(12544*a^3 + 75360*a^2*b + 95526*a*b^2 + 45045*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c))
/(d*cosh(d*x + c)^17 + 17*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^16 + d*sinh(d*x + c)^17 - 15*d*cosh(d*x + c)^15 + (136
*d*cosh(d*x + c)^2 - 15*d)*sinh(d*x + c)^15 + 5*(136*d*cosh(d*x + c)^3 - 45*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^14
+ 104*d*cosh(d*x + c)^13 + (2380*d*cosh(d*x + c)^4 - 1575*d*cosh(d*x + c)^2 + 106*d)*sinh(d*x + c)^13 + 13*(47
6*d*cosh(d*x + c)^5 - 525*d*cosh(d*x + c)^3 + 104*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^12 - 440*d*cosh(d*x + c)^11 +
(12376*d*cosh(d*x + c)^6 - 20475*d*cosh(d*x + c)^4 + 8268*d*cosh(d*x + c)^2 - 470*d)*sinh(d*x + c)^11 + 11*(1
768*d*cosh(d*x + c)^7 - 4095*d*cosh(d*x + c)^5 + 2704*d*cosh(d*x + c)^3 - 440*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^1
0 + 1260*d*cosh(d*x + c)^9 + 5*(4862*d*cosh(d*x + c)^8 - 15015*d*cosh(d*x + c)^6 + 15158*d*cosh(d*x + c)^4 - 5
170*d*cosh(d*x + c)^2 + 294*d)*sinh(d*x + c)^9 + (24310*d*cosh(d*x + c)^9 - 96525*d*cosh(d*x + c)^7 + 133848*d
*cosh(d*x + c)^5 - 72600*d*cosh(d*x + c)^3 + 11340*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^8 - 2548*d*cosh(d*x + c)^7 +
(19448*d*cosh(d*x + c)^10 - 96525*d*cosh(d*x + c)^8 + 181896*d*cosh(d*x + c)^6 - 155100*d*cosh(d*x + c)^4 + 5
2920*d*cosh(d*x + c)^2 - 3458*d)*sinh(d*x + c)^7 + (12376*d*cosh(d*x + c)^11 - 75075*d*cosh(d*x + c)^9 + 17846
4*d*cosh(d*x + c)^7 - 203280*d*cosh(d*x + c)^5 + 105840*d*cosh(d*x + c)^3 - 17836*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x +
c)^6 + 3640*d*cosh(d*x + c)^5 + (6188*d*cosh(d*x + c)^12 - 45045*d*cosh(d*x + c)^10 + 136422*d*cosh(d*x + c)^8
- 217140*d*cosh(d*x + c)^6 + 185220*d*cosh(d*x + c)^4 - 72618*d*cosh(d*x + c)^2 + 6370*d)*sinh(d*x + c)^5 + 5
*(476*d*cosh(d*x + c)^13 - 4095*d*cosh(d*x + c)^11 + 14872*d*cosh(d*x + c)^9 - 29040*d*cosh(d*x + c)^7 + 31752
*d*cosh(d*x + c)^5 - 17836*d*cosh(d*x + c)^3 + 3640*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^4 - 3432*d*cosh(d*x + c)^3
+ (680*d*cosh(d*x + c)^14 - 6825*d*cosh(d*x + c)^12 + 30316*d*cosh(d*x + c)^10 - 77550*d*cosh(d*x + c)^8 + 123
480*d*cosh(d*x + c)^6 - 121030*d*cosh(d*x + c)^4 + 63700*d*cosh(d*x + c)^2 - 9438*d)*sinh(d*x + c)^3 + (136*d*
cosh(d*x + c)^15 - 1575*d*cosh(d*x + c)^13 + 8112*d*cosh(d*x + c)^11 - 24200*d*cosh(d*x + c)^9 + 45360*d*cosh(
d*x + c)^7 - 53508*d*cosh(d*x + c)^5 + 36400*d*cosh(d*x + c)^3 - 10296*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 1430
*d*cosh(d*x + c) + (17*d*cosh(d*x + c)^16 - 225*d*cosh(d*x + c)^14 + 1378*d*cosh(d*x + c)^12 - 5170*d*cosh(d*x
+ c)^10 + 13230*d*cosh(d*x + c)^8 - 24206*d*cosh(d*x + c)^6 + 31850*d*cosh(d*x + c)^4 - 28314*d*cosh(d*x + c)
^2 + 11440*d)*sinh(d*x + c))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)**16*(a+b*sinh(d*x+c)**4)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.70699, size = 838, normalized size = 4.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^16*(a+b*sinh(d*x+c)^4)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-4/45045*(45045*b^3*e^(26*d*x + 26*c) - 555555*b^3*e^(24*d*x + 24*c) + 1081080*a*b^2*e^(22*d*x + 22*c) + 31531
50*b^3*e^(22*d*x + 22*c) - 9297288*a*b^2*e^(20*d*x + 20*c) - 10900890*b^3*e^(20*d*x + 20*c) + 11531520*a^2*b*e
^(18*d*x + 18*c) + 35675640*a*b^2*e^(18*d*x + 18*c) + 25600575*b^3*e^(18*d*x + 18*c) - 54362880*a^2*b*e^(16*d*
x + 16*c) - 80463240*a*b^2*e^(16*d*x + 16*c) - 43108065*b^3*e^(16*d*x + 16*c) + 46126080*a^3*e^(14*d*x + 14*c)
+ 106254720*a^2*b*e^(14*d*x + 14*c) + 118301040*a*b^2*e^(14*d*x + 14*c) + 53513460*b^3*e^(14*d*x + 14*c) - 35
875840*a^3*e^(12*d*x + 12*c) - 113393280*a^2*b*e^(12*d*x + 12*c) - 118918800*a*b^2*e^(12*d*x + 12*c) - 4954950
0*b^3*e^(12*d*x + 12*c) + 21525504*a^3*e^(10*d*x + 10*c) + 74954880*a^2*b*e^(10*d*x + 10*c) + 83459376*a*b^2*e
^(10*d*x + 10*c) + 34189155*b^3*e^(10*d*x + 10*c) - 9784320*a^3*e^(8*d*x + 8*c) - 34070400*a^2*b*e^(8*d*x + 8*
c) - 41081040*a*b^2*e^(8*d*x + 8*c) - 17342325*b^3*e^(8*d*x + 8*c) + 3261440*a^3*e^(6*d*x + 6*c) + 11356800*a^
2*b*e^(6*d*x + 6*c) + 14054040*a*b^2*e^(6*d*x + 6*c) + 6276270*b^3*e^(6*d*x + 6*c) - 752640*a^3*e^(4*d*x + 4*c
) - 2620800*a^2*b*e^(4*d*x + 4*c) - 3243240*a*b^2*e^(4*d*x + 4*c) - 1531530*b^3*e^(4*d*x + 4*c) + 107520*a^3*e
^(2*d*x + 2*c) + 374400*a^2*b*e^(2*d*x + 2*c) + 463320*a*b^2*e^(2*d*x + 2*c) + 225225*b^3*e^(2*d*x + 2*c) - 71
68*a^3 - 24960*a^2*b - 30888*a*b^2 - 15015*b^3)/(d*(e^(2*d*x + 2*c) - 1)^15)